[悖论]经典悖论漫游(1)

 今中外有不少著名的悖论,它们震撼了逻辑和数学的基础,激发了人们求
知和精密的思考,吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题
需要创造性的思考,悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
  本文将根据悖论形成的原因,粗略地把它归纳为六种类型,分上、中、下三
个部份。这是第一部份:
由概念自指引发的悖论和引进无限带来的悖论
(一)由自指引发的悖论
  以下诸例都存在着一个概念自指或自相关的问题:如果从肯定命题入手,就
会得到它的否定命题;如果从否定命题入手,就会得到它的肯定命题。
1-1 谎言者悖论
  公元前六世纪,哲学家克利特人艾皮米尼地斯(Epimenides):
“所有克利特人都说谎,他们中间的一个诗人这么说。”这就是这个著名悖论的
来源。
  《圣经》里曾经提到:“有克利特人中的一个本地中先知说:‘克利特人常
说谎话,乃是恶兽,又馋又懒’”(《提多书》第一章)。可见这个悖论很出名,
但是保罗对于它的逻辑解答并没有兴趣。
  人们会问:艾皮米尼地斯有没有说谎?这个悖论最简单的形式是:
1-2 “我在说谎”
  如果他在说谎,那么“我在说谎”就是一个谎,因此他说的是实话;但是如
果这是实话,他又在说谎。矛盾不可避免。它的一个翻版:
1-3 “这句话是错的”
  这类悖论的一个标准形式是:如果事件A发生,则推导出非A,非A发生则
推导出A,这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。拓扑学中的单面体是一个形像的
表达。
  哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论,并试图找到解决的办法。他在《我
的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道:“自亚里士多德以来,无论哪一个
学派的逻辑学家,从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有
些东西是有毛病的,但是指不出纠正的方法是什么。在1903年的春季,其中
一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。”
  他说:谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾:“那个说谎的人说:
‘不论我说什么都是假的’。事实上,这就是他所说的一句话,但是这句话是指
他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。”
(同上)
  罗素试图用命题分层的办法来解决:“第一级命题我们可以说就是不涉及命
题总体的那些命题;第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题;其余仿
此,以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。“1903年和1904年这
一整个时期,我差不多完全是致力于这一件事,但是毫不成功。”(同上)
  《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的,并且使
用逻辑术语说明概念,回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是:“发
表一本包含那么许多未曾解决的争论的书。”可见,从数学基础的逻辑上彻底地
解决这个悖论并不容易。
  接下来他指出,在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”,就是说,“
它包含讲那个总体的某种东西,而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比
较容易理解,如果这个悖论是克利特以为的什么人说的,悖论就会自动消除。但
是在集合论里,问题并不这么简单。
1-4 理发师悖论
  在萨维尔村,理发师挂出一块招牌:“我只给村里所有那些不给自己理发的
人理发。”有人问他:“你给不给自己理发?”理发师顿时无言以对。
  这是一个矛盾推理:如果理发师不给自己理发,他就属于招牌上的那一类人
。有言在先,他应该给自己理发。
  反之,如果这个理发师给他自己理发,根据招牌所言,他只给村中不给自己
理发的人理发,他不能给自己理发。
  因此,无论这个理发师怎么回答,都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素
在一九○二年提出来的,所以又叫“罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有
故事情节的表述。显然,这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。
1-5 集合论悖论
  “R是所有不包含自身的集合的集合。”
  人们同样会问:“R包含不包含R自身?”如果不包含,由R的定义,R应
属于R。如果R包含自身的话,R又不属于R。
  继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后,1931年歌德尔(Kurt
Godel ,1906-1978,捷克人)提出了一个“不完全定理”,打破了十
九世纪末数学家“所有的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想。这个定理指
出:任何公设系统都不是完备的,其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的
命题。例如,欧氏几何中的“平行线公理”,对它的否定产生了几种非欧几何;
罗素悖论也表明集合论公理体系不完备。
1-6 书目悖论
  一个图书馆编纂了一本书名词典,它列出这个图书馆里所有不列出自己书名
的书。那么它列不列出自己的书名?这个悖论与理发师悖论基本一致。
1-7 苏格拉底悖论
  有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底(Socrates,公元前470
-前399)是古希腊的大哲学家,曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家
相对。他建立“定义”以对付诡辩派混淆的修辞,从而勘落了百家的杂说。但是
他的道德观念不为希腊人所容,竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代表。在普
洛特哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后,苏格拉底也被处以死刑,但是他的学说
得到了柏拉图和亚里斯多德的继承。
  苏格拉底有一句名言:“我只知道一件事,那就是什么都不知道。”
  这是一个悖论,我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不
知道。古代中国也有一个类似的例子:
1-7 “言尽悖”
  这是《庄子·齐物论》里庄子说的。后期墨家反驳道:如果“言尽悖”,庄
子的这个言难道就不悖吗?我们常说:
1-7 “世界上没有绝对的真理”
  我们不知道这句话本身是不是“绝对的真理”。
1-8 “荒谬的真实”
  有字典给悖论下定义,说它是“荒谬的真实”,而这种矛盾修饰本身也是一
种“压缩的悖论”。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”,意
思是“多想一想”。
  这些例子都说明,在逻辑上它们都无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。有
没有进一步的解决办法?在下面一节的最后一部份还将继续探讨。
(二)引进无限带来的悖论
  《墨子·经说下》中有一句话:“南方有穷,则可尽;无穷,则不可尽。”
如果在有限中引进无限,就可能引起悖论。
2-1 阿基里斯悖论
  稍晚于毕达哥拉斯的古希腊数学家芝诺(Zeno of Elea),曾经提出过一些
著名的悖论,对以后数学、物理概念产生了重要影响,阿基里斯悖论是其中的一
个。阿基里斯(Achi
les)是希腊神话中善跑的英雄。芝诺讲:阿基里
斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟,因为当他要到达乌龟出发的那
一点,乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小,但永远追不
上乌龟。

  方励之先生曾经用物理语言描述过这个问题:在阿基里斯悖论中使用了两种
不同的时间度量。一般度量方法是:假设阿基里斯与乌龟在开始时的距离为S,
速度分别为V1和V2。当时间T=S/(V1-V2)时,阿基里斯就赶上了
乌龟。
  但是芝诺的测量方法不同:阿基里斯将逐次到达乌龟在前一次的出发点,这
个时间为T'。对于任何T',可能无限缩短,但阿基里斯永远在乌龟的后面。
关键是这个T'无法度量T=S/(V1-V2)以后的时间。
2-2 二分法悖论
  这也是芝诺提出的一个悖论:当一个物体行进一段距离到达D,它必须首先
到达距离D的二分之一,然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无
穷地划分下去。因此,这个物体永远也到达不了D。
  这些结论在实践中不存在,但是在逻辑上无可挑剔。
  芝诺甚至认为:“不可能有从一地到另一地的运动,因为如果有这样的运动
,就会有‘完善的无限’,而这是不可能的。”如果阿基里斯事实上在T时追上
了乌龟,那么,“这是一种不合逻辑的现象,因而决不是真理,而仅仅是一种欺
骗”。这就是说感官是不可靠的,没有逻辑可靠。
  他认为:“穷尽无限是绝对不可能的”。根据这个运动理论,芝诺还提出了
一个类似的运动佯谬:
2-3 “飞矢不动”
  在芝诺看来,由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬时的位置,它在这个
位置上和不动没有什么区别。那么,无限个静止位置的总和就等于运动了吗?或
者无限重复的静止就是运动?中国古代也有类似的说法,如:
2-4 “飞鸟之景,未尝动也”
  这是中国名家惠施的命题,与“飞矢不动”同工异曲。这就是不可抗拒的推
理和不可回避的实事相冲突。
  德国哲学家尼采在《希腊悲剧时代的哲学》里有一章《可疑的悖论》,称芝
诺的悖论为“否定感官的悖论”。尽管阿基里斯在赛跑中追上起步领先的乌龟完
全合乎事实,但为什么“不合逻辑”?因为芝诺运用了“无限”这个概念,这是
一种逻辑上的假设,而现实世界里是不可能有无限者存在的,这就出现了假设与
现实的矛盾。
  尼采说道:在这两个悖论里,“无限”被利用来作为化解现实的硝酸。绻?
无限是决不可能成为完善的,静止决不可能变为运动,那么,真相是箭完全没有
飞动,它完全没有移位,没有脱离静止状态,时间并没有流逝。
  换句话讲,在这个所谓的、终究只是冒牌的现实中,既没有时间、空间,也
没有运动。最后,连箭本身也是一个虚象,因为它来自多样性,来自由感官唤起
的非一的幻象。下面是尼采的分析:
  假定箭拥有一种存在,那么,它就是不动的、非时间的、非造而有的、固定
的、永恒的。这是一个荒谬的观念!
  假定运动是真正的实在,那么,就不存在静止。因而,箭没有位置、没有空
间。又是一个荒谬的观点!
  假定时间是实在的,那么,它就不可能被无限地分割。箭飞行所需要的时间
必定由一个有限数目的瞬间组成,其中每个瞬间都必定是一个原子。仍然是一个
荒谬的观念!
  尼采得出这样的结论:我们的一切观念,只要其经验所与的、汲自这个直观
世界的内容被当作“永恒真理”,就会陷入矛盾。如果有绝对运动,就不会有空
间;如果有绝对空间,就不会有运动;如果有绝对存在,就不会有多样性;如果
有绝对的多样性,就不会有统一性。事实上,这两个悖论中提到的这个“动与不动”的对立统一,今天都已经得
到了完美的解决,这就是极限理论的诞生。牛顿在运动学研究时,初创微积分,
但由于没有巩固的理论基础,出现了历史上的“第二次数学危机”。十九世纪初,
法国科学家以柯西为首建立了极限理论,后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进
一步的严格化,使极限理论成为微积分的坚定基础,运动问题也得到了合理的解
释。
  可以想见,在微积分和极限理论发明或被接受以前,人们很难解释这一运动
佯谬。感官不同于思维,当希腊人用概念来判决现实的时候,如果逻辑与现实发
生矛盾,芝诺指责感官为“欺骗”。当思维找不到合理解释的时候,直观的形式、
象征或比喻都无济于事。尼采的分析虽然详细、精辟,但他无法把它们综合起来。
2-5 “一尺之捶,日取其半,万世不竭”
  这是《庄子·天下》中惠施的一句名言。二千多年前中国古人同样运用了无
限的概念。
  战国名家宋国人惠施(约公元前370-前310)曾任梁国的宰相,论辩
奇才,是庄子的朋友,和公孙龙并列为名家的代表人物。他的著作多已亡佚,只
能从其他诸家的论述中看到他的言行片段。
  惠施的学说强调万物的共相,因而事物之间的差异只是一种相对的概念,现
存与惠施有关的奇怪命题,例如,“山与泽平”、“卵有毛”、“鸡三足”、“
犬可以为牛”、“火不热”、“矩不方”、“白狗黑”、“孤驹未尝有母”等,
都可以说是悖论,但是大部份没有留下具体的争辩过程。惠施的悖论在西方也很
有影响。
  2-6 “1厘米线段内的点与太平洋面上的点一样多”
  多少哲学家、数学家都唯恐陷入悖论而退避三舍。二十三岁获博士学位的德
国数学家康托尔(1845-1918)六年以后向无穷宣战。他成功地证明了:
一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应,也能和空间中的点一一对应。
由于无限,1厘米长的线段内的点,与太平洋面上的点,以及整个地球内部的点
都“一样多”。
  然而,康托尔的“无穷集合”与传统的数学观念发生冲突,遭到谩骂。直到
一八九七年第一次国际数学家会议,他的成果才得到承认,几乎全部数学都以集
合论为基础。罗素称赞他的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”
  同时,集合论中也出现了一些自相矛盾的现象,尤其是罗素的理发师悖论,
以极为简明的形式震撼了数学的基础,这就是“第三次数学危机”。此后,数学
家们进行了不懈地探讨。
  例如,一九九六年英国剑桥大学出版社出版了亨迪卡的《数学原理的重新考
察》,这本书以罗素的《数学原理》(1903)为蓝本的,试图完善逻辑和数
学基础。它主要阐述了亨迪卡和桑朵新创的IF(Independence-Friendly First
-Order Logic)逻辑及其可能产生的影响。它挑战了许多公认的观念,如公理集
合论作为数学理论的适当框架,对说谎者悖论也作了进一步的探讨。它是否将引
起一场逻辑和数学基础的革命?我们还将拭目以待。
(三)由一因多果片面推理引致的悖论
  这种
式的悖论类似于诡辩。诡辩在现实中是令人厌恶的,但是在逻辑学的
探讨中有相当的位置。孔多塞说:“希腊人滥用日常语言的各种弊端,玩弄字词
的意义、以便在可悲的模棱两可之中困搅人类的精神。可是,这种诡辩却也赋予
了人类的精神以一种精致性,同时它又耗尽了他们的力量来反对虚幻的难题。”
  古希腊哲学流派中曾经有一个诡辩学派,又叫智者派。他们对自然哲学持怀
疑态度,认为世界上没有绝对不变的真理。前面提到的普洛道格拉斯(Pro-
tagras,约公元前485-前410)是其著名的代表人物,他认为:“
人是衡量万物的尺度。”雅典政府因其主张无神论,予以驱逐并焚烧了他的书籍。
  从苏格拉底到亚里斯多德都反对诡辩学说,黑格尔说,苏格拉底常运用他的
辩证法去攻击诡辩学派,尤其是普洛道格拉斯。尽管这些智者的理论多已失传,
我们仍然可以从亚里斯多德的《形而上学》(吴寿彭译)中了解一些当时的论辩。
  根据亚里斯多德的记载,柏拉图(Plato,公元前427-前347)
曾说:诡辩是专讨论“无事物”的,因为诡辩派的论题老是纠缠于事物的属性。
例如,“文明的”与“读书的”为同抑异,“文明的哥里斯可”与“哥里斯可”
是否相同?以及每一事物并不常是而今是者,是否便当成是,由兹而引致(悖解)
的结论(同上)。
  斥形式逻辑而提倡辩证法的黑格尔(1770-1831)说柏拉图发明了
辩证法。“柏拉图运用辩证法以指出一切固定的知性规定的有限性。他从一推演
出多,但仍然指出多之所以为多,复只能规定为一。”(《小逻辑》)
  亚里斯多德认为:凡现存的事物其生成与消失必有一个过程,而属性事物则
不然。然而,我们还得尽可能地追踪偶然属性之本质与其来由;也许因此可得明
白何以不能成立有关属性的学术(《形而上学》卷六章二)。在他看来,诡辩理
论就是“有关属性的学术”而不是“属性之本质与其来由”。
  诡辩完善的是学术体系,而不是知识。孔多塞在《人类精神进步史表纲要人
类精神进步史表纲要》(何兆武、何冰译)的《第四个时代》中说:然而希腊的
智者和希腊的学人,“并没有发现真理,反而是在铸造各种体系;他们忽视了对
事实的观察,为的是自己好投身于自己的想象之中;他们既然无法把自己的意见
置于证明的基础之上,便力图以诡辩来维护它们。”
  可见,诡辩学派的致命点就是忽略“本质”而纠缠“属性”,从现存的事物
中推论出悖解的结论来,而不详细考察事物的真实,在实践的基础上加以证明。
对付诡辩最好的方式是运用辩证法并在实践中加以考证。
3-1 “什么是诡辩?”
  有学生问他的希腊老师:“什么是诡辩?”老师反问到:“有甲乙两人,甲
很干净,乙很脏。如果请他们洗澡,他们中间谁会洗?”
  这里有四种可能,一是甲洗,因为他有爱干净的习惯;二是乙洗,因为他需
要;三是两人都洗,一个是因为习惯,另一个是因为需要;四是两人都没洗,因
为脏人没有洗澡的习惯,干净人不需要洗。这四种可能彼此相悖,无论学生作出
怎样的回答,老师都可以予以反驳,因为他不需要有一个客观的标准,这就是诡
辩。
3-2 “父在母先亡”
  这是一个可以自圆其说的乩语。它也有四种解释:一是“父在,母先亡”;
二是“父在母之先亡”;三是如果父母健在,可以解释为将来;四是即使父母都
去世了,也可以解释为“父亲在的时候,母亲就去世了。”或者是“父亲在母亲
以前就去世了。”真是左右逢源。
  从逻辑顺序上看,上面这两个例子正好是反其道而用。无论正命题还是反命
题都可以根据所谓的客观理由进行诡辩,形成自圆其说或诘难。所以葛拉西安在
《智慧书:永恒的处世经典》中说:“诡辩是一种欺骗,乍一听,它蛮有道理,
并因其刺激、新奇而令人心惊,但随后,当其虚饰之伪装被揭穿,就会自取其辱。”
3-3 邓析赎尸诡论
  《吕氏春秋》记载了这样一个故事:洧水发了大水,淹死了郑国富户家的一
员。尸体被别人打捞起来,富户的家人要求赎回。然而捞到尸体的人要价太高,
富户的家人不愿接受,他们找邓析出主意。邓析说:“不用着急,除你之外,他
还会卖给谁?”捞到尸体的人等得急了,也去找邓析要主意。邓析却回答:“不
要着急,他不从你这里买,还能从谁那里买?”
  邓析生在春秋末年,与老子和孔子基本同时,是战国名家的鼻祖,著名的讼
师,他的著作已经失传。
  同一个事实,邓析却推出了两个相反的结论,每一个听起来都合乎逻辑,但
合在一起就荒谬了。邓析是不是希望他们相持一段时间后,双方都可以找到一个
可以接受的价格平衡点?我们只能猜测。
  后来,邓析被杀,就是因为子产认为他“以非为是,以是为非,是非无度,
而可与不可日变”。可见,邓析是一个没有原则的人。身为讼师,邓析善于辞辩,
而不跳出诡论寻找客观的解决办法。严谨的逻辑推理固然具有说服性,但最终还
是要回到现实中来。
3-4 公孙龙论秦赵之约
  《吕氏春秋》介绍过公孙龙的一个诡论:秦国与赵国订立条约:今后,秦国
想做的,赵国帮助;赵国想做的,秦国帮助。不久,秦国兴师攻打魏国,赵国打
算援救。秦王不高兴,差人对赵王说:秦国想做的,赵国帮助;赵国想做的,秦
国帮助。现在秦国要打魏国,而赵国援救他们,这是违约。赵王把这个消息转告
给平原君,平原君向公孙龙请教。公孙龙回答:“赵王也可以派人对秦王说:赵
国打算援救魏国,现在秦国却不帮助赵国,这也不合乎条约。”
  不管这个寓言的真实性如何,他的推理无懈可击。公孙龙对于秦赵之约的回
应,与邓析赎尸诡论一脉相承。但公孙龙是站在弱小的赵魏这一边反对强秦的。
3-5 “彼亦一是非,此亦一是非。”
  这是《庄子·齐物论》中的一句话,以强调事物的相对性而著称,比如,人
睡在潮湿的地方会腰疼,但泥鳅会腰疼吗?人爬到高树上会胆怯,猿猴会腰疼吗?
于是,他的结论是:“彼亦一是非,此亦一是非。”各有各的相对标准。
  《团结报》曾经刊登过一篇一勺的《名师出高徒》。说康白情1919年前
在北京大学选修马叙伦先生的“老庄哲学”,没有一次不迟到。有一次,马叙伦
责问康白情为什么姗姗来迟。康白情回答:“住得太远。”马先生不以为然,反
问道:从你的住处走到这里只要三、五分钟,怎么叫太远!康白情也不示弱,说:
先生讲庄子,庄子说:“彼亦一是屋非,此亦一是非”。先生不以为远,而我以
为远。马叙伦一时无话可说。
3-6 “我没有受贿”
  一个商人被控受贿。他宣称:“我没有受贿。”
  显然,这个商人既是观察者也是被观察者。我们不知道他是以观察者
的身份
进行辩护,还是以被观察者的身份进行诡辩。这两种推论都合乎逻辑,如果没有
别的证据,就不能判决(引自“Web Dictionary of Cyb
ernetics and Systems”)。
3-7 囚犯诡论
  甲乙两人偷东西,人赃俱物。他们被分开审问,可能的惩罚如下:
    乙否认
    乙承认 
    甲否认:甲、乙各一年监禁
    乙释放、甲五年监禁
    甲承认:甲释放、乙五年监禁
    甲、乙各三年监禁
  甲乙二囚犯都会想到对自已最有利的去做:以甲而言,甲若承认,最多三年
监禁,如果乙也承认;如果乙否认,甲马上获得自由。这个结果并不坏。这是博
弈,乙也会同样这么想。如果甲改变主意,将冒监禁五年,而乙却获得自由;反
之也一样。如果双方都改变主意,各监禁一年,也可以达到“共利”。
  但是,这一决策的过程可能是无限的理性推理:假如我选择“共利”策略,
我必定相信对方也将选择“共利”策略;假如我选择“私利”策略,对方也会选
择“私利”策略予以防范。这个“推己及人,推人及己”的过程可以无限地推下
去,他的极限状态在博弈论里叫做“共享知识(Common Knowled
ge)”,但是没有人可以达到这个状态,囚犯也摆脱不了这个悖论。

(四)由名实相悖引起的悖论
  古代中国有不少经典的悖论都来自名家。名家是战国时期的一个学派,他们
的学说在于循名责实,但结果也往往被认为是流于诡辩。名家始于邓析,后有惠
施、公孙龙等大家。
  在古希腊,亚里斯多德认为:辩证家与诡辩派穿着与哲学家相同的服装,但
不是一回事。对于诡辩术,智慧只是貌似而已,辩证家则将一切事物囊括于他们
的辩证法中,而“实是”也是他们所共有的一个论题;因而辩证法也包含了原属
于哲学的这些主题。诡辩术和辩证法谈论与哲学上同类的事物,但哲学毕竟异于
辩证法者由于才调不同,哲学毕竟异于诡辩术者则由学术生活的目的不同。哲学
在切求真知时,辩证法专务批评;至于诡辩术尽管貌似哲学,终非哲学(《形而
上学》卷四章一)。
  冯友兰先生在《中国哲学简史》第八章《名家》里有专门的讨论。他认为,
中国的“名家”不完全等同于西方的诡辩家、逻辑家或辩证家。如果说古希腊的
辩证家和诡辩派专攻属性而不是本质的话,那么名家则在于研究“名”与“实”
的关系,而且重“名”甚于重“实”是他们的精神实质。这里的“名实”就是名
目与实际。冯友兰认为中国的名家应该翻译为“School of Name”
以示区别,我在《不列颠百科全书》上看到的正是这样翻译的。
  名与实关系的争论对中国哲学的影响巨大,如“孔子有正名、老子有无名、
墨子有取实予名的争辩”。除名家以为,荀子对古逻辑学的贡献也很大。

  公孙龙的辩论执名为实,“专决于名”而不落实到经验的事物,看看他的雄
辩,就会发现一些奇怪的问题。《庄子·秋水篇》提到,公孙龙曾经自夸:“困
百家之知,穷众口之辩”。
4-1 “白马非马”

  战国时赵国人公孙龙曾经著有《公孙龙子》一书,平原君礼遇甚厚。其“白
马非马”和“坚白异同之辩”都是他的著名命题。
  据说,公孙龙有一次骑马过关,把关的人对他说:“法令规定马不许过。”
公孙龙回答说:“我骑的是白马,白马不是马,这可是两回事啊。”公孙龙的“
白马”有没有过关,我们不得而知。从常人的观点来看,守关的兵士八成认为公
孙龙是在诡辩。这也是一个逻辑上“莫能与辩”,现实中不能成立的例子。
  冯友兰认为《公孙龙子》里的《白马论》对“白马非马”进行了三点论证:

  一是强调“马”、“白”、“白马”的内涵不同。“马”的内涵是一种动物,
“白”的内涵是一种颜色,“白马”的内涵是一种动物加一种颜色。三者内涵各
不相同,所以白马非马。

  二是强调“马”、“白马”的外延的不同。“马”的外延包括一切马,不管
其颜色的区别;“白马”的外延只包括白马,有颜色区别。外延不同,所以白马
非马。
  三是强调“马”这个共相与“白马”这个共相的不同。马的共相,是一切马
的本质属性,它不包涵颜色,仅只是“马作为马”。共性不同,“马作为马”与
“白马作为白马”不同。所以白马非马。

  前面我们说到,辩证法是在对付诡辩论的过程中发展起来的。黑格尔在《小
逻辑》中说:“辩证法切不可与单纯的诡辩相混淆。诡辩的本质在于孤立起来看
事物,把本身片面的、抽象的规定,认为是可靠的。”(《逻辑学概念的进一步
规定和部门划分》)

  从辩证法的角度看,“白马非马”割断了个别和一般的关系。白马属于个性,
特指白颜色的马;马属于一般,具有各种颜色马的共性。公孙龙区分了它们之间
的差别,但是又绝对化了这种差别。白马尽管颜色上不同于其他的马,如公孙龙
提到的黄马、黑马,但仍然是马。作为共性的“马”寓于作为个性的“白马”之
中。“马”作为一般的范畴,包括各种颜色的马,公孙龙的白马自然也不例外。

4-2 “杀盗非杀人也”

  这个命题与“白马非马”何其相似,尽管论证的方法和目的不同。荀子把墨
辩“杀盗非杀人也”归入“惑于用名以乱名”的诡辩。荀子认为,在外延方面“
人”的范畴包含了“盗”的范畴。所以,说“盗”的时候,就意味着说他同时也
是“人”;杀“盗”也是杀人。

4-3 坚白石论

  坚白石论指一块“坚白石”,它有坚、白、石三个要素组成。公孙龙主张“
坚”为石头的特性,“白”为石头的颜色。眼睛看到的这块石头是白色的,手触
摸到的这块石头才知到它是坚硬的;白色由视觉而得,坚硬由触觉而来,坚与白
不能同时被认知。因此,公孙龙认为就一块坚白石而言,人不可能同时认识到其
中三个组成要素:坚、白、石,而只能是坚石或白石。

  这是从感知的角度来证明坚、白彼此分离,是分析方法的早期运用。“离坚
白之辩”是古代中国的一个著名命题,习惯上人们并不接受,但是对于名家自身
来讲,如果没有精密的思考,也不可能提出这些深刻的问题。

  尽管名家在逻辑上的辩论天下无敌手,但是遭到诸家反对。庄子说他们:“
饰人之心,易人之意,能胜人之口,不能服人之心,辩者之囿也。”《荀子》也
认为:“虽辩,君子不听。”这的确是名家的吊诡。

  中国古有名辩逻辑,唐代传入印度因明,近代又引进了西方逻辑,成为世界
三大逻辑的汇合点。黑格尔在《小逻辑》里说:“一说到诡辩我们总以为这只是
一种歪曲正义和真理,从一种谬妄的观点去表述事物的思想方式。但这并不是诡
辩的直接的倾向。诡
辩派原来的观点不是别的,只是一种‘合理化论辩’的观点。”
这是针对古希腊人说的,对中国的名家来讲,同样适合。

4-4 怎么翻译?

  英语里有一个Buchowski悖论:“My younger bro
ther is older than I am.”

  单纯地看这句话是一个悖论,实际上这个“我”有两个哥哥。小哥哥(yo
unger brother)自然比他的年龄大。但是younger br
other在英语里又有“弟弟”的意思,硬译过来,如果是:“我弟弟的年龄
比我大。”为常识错误;如果是:“我的小哥哥的年龄比我大。”构不成悖论。

  英语的brother与汉语里的“兄弟”并不完全对应。在这个例子里,
汉语对“兄弟”作了进一步的划分,减少了歧意。

(1999年11月22日于美国)
(五)由前提不自洽导致的悖论

  这里我们将看到,前提不自洽,结论就无法自圆其说,甚至荒谬或没有结论。

5-1“罗素是教皇”

  从单纯的逻辑上来讲,荒谬的假设可以推论出任何荒谬的结论,哪怕推理过程
无懈可击。有人曾经让罗素证明从“2+2=5”推出“罗素是教皇”。罗素证明
如下:

由于2+2=5,等式的两边同时减去2,
得出2=3;两边同时再减去1,
得出1=2;两边移位,
得出2=1。

  教皇与罗素是两个人,既然2=1,教皇和罗素就是1个人,所以“罗素就是
教皇”。

  这个荒谬的结论,就是由一个荒谬的假设引发出来的。

5-2“亚里斯多德是类概念”

  这是严格按照三段论推导出来的结果。请看:

(1)亚里斯多德是哲学家,
(2)哲学家是类概念,
(3)所以,亚里斯多德是类概念。

  亚里斯多德(Aristotle,公元前384-前322)是希腊大哲学
家和天文学家,曾就学于柏拉图,继承苏格拉底以来的希腊哲学而自成体系,在西
方的影响最大。他系统总结了三段论法原理,奠定了逻辑思维的基础。

  上面这个结论恐怕连亚里斯多德本人也不会认同。因为其中蕴含了一个“语义
悖论”。因为语句(1)中的哲学家和语句(2)中的“哲学家”不在一个层次
上,前者是对象概念,后者是元概念。两个前提内涵不一致,结论就荒谬了。从根
本上来讲这不是一个语言或语法问题,而是一种逻辑错误。自塔尔斯基在30年代
提出“语言层次论”来,就一直受到人们的关注。

5-3自相矛盾

  这个例子正相反,是一个因为前提不相容而推不鼋崧鄣木?淅?印?

  《韩非子·势难》介绍了这个预言:有一个同时卖矛和盾的人。他先夸他的盾
最坚固,无论什么东西都戳不破;接着又夸他的矛最锐利,无论什么东西都能刺透。
旁人问他:如果用他的矛来刺他的盾会有什么结果,他回答不上来,因为两者相互
抵触。这是一个既不可以同时为真,也不可以同时为假的命题。前提出现矛盾,也
就无法推出结论。

5-4纸牌悖论

  纸牌悖论就是纸牌的一面写着:“纸牌反面的句子是对的。”而另一面却写
着:“纸牌反面的句子是错的。”这是由英国数学家Jourdain提出来的。
我们同样推不出结果来。它最简单的形式是:

5-5“悖论元”

下面这句话是对的,
上面这句话是错的。

    这也是一个有名的悖论,叫乔丹真值(Jourdain Truth-Va
lue)悖论。以上这三个例子基本属于一个类型。

5-6“先有鸡,还是先有蛋?”

  这个互为因果的循环推理本身无法自我解脱,需要实际的考证,如考古学和生
物学的研究成果等,才能打破这一循环。

  它里面也隐含着一个不相容的前提假设:“鸡是由蛋孵化出来的,蛋又是由鸡
生出来的。”单独来看都符合日常观察,但合在一起却是一对不自洽的假设。

5-7“如果说上帝是万能的,他能否创造一块他举不起来的大石头?”

  这是一个流传很广的悖论。如果说能,上帝遇到一块“他举不起来的大石头”,
说明他不是万能;如果说不能,同样说明他不是万能。这是用结论来责难前提。

  这个“全能者悖论”的另一种表达方法是:“全能的创造者可以创造出比他更
了不起的事物吗?”

5-8“你会杀掉我”

  这个故事有几个版本。大意是说:一夥强盗抓住了一个商人,强盗头目对商人
说:“你说我会不会杀掉你,如果说对了,我就把你放了;如果说错了,我就杀掉
你。”商人一想,说:“你会杀掉我。”于是强盗把他放了。

  推理一下:如果强盗把商人杀了,他的话无疑是对的,应该放人;如果放人,
商人的话就是错的,应该杀掉,又回到前面的推理,这是一个悖论。聪明的商人找
到的答案使强盗的前提互不相容。

5-9“你会吃掉我的孩子”

  这个例子与上面的例子逻辑同构。

  一条鳄鱼抢走了一个小孩,它对孩子的母亲说:“我会不会吃掉你的小孩?答
对了,孩子还给你;答错了,我就吃了他。”我们已经知道了母亲的答案:“你会
吃掉我的孩子。”

5-10两小儿辩日

  这是《列子》里的一则预言:孔子遇到两个小孩在争论,一个说:“日出时,
太阳距离我们近,中午距离我们远。因为日出时太阳大得像车轮,中午小得像盘子。
这不正是近大远小吗?”另一个却说:“日出时,太阳距离我们远,中午距离我们
近。因为日出时我们不觉得热,中午却非常热。这不是近热远凉吗?”孔子不能答。

  这是今天的一个科学常识问题,但两千多年前的人并不知道。从逻辑上看,这
里有“近大远小”、“近热远凉”两个测度的标准。在回答问题以前,应该搞清楚
哪个标准更准确,或者都不准确。

5-11爱瓦梯尔应不应该付学费?

  传说古希腊人爱瓦梯尔(Eulathlus)向普洛太哥拉斯学习辩术(另
有一说是学习法律)。他们的约定是:爱瓦梯尔先付一半学费,另一半学费等学成
后在第一场辩护胜诉时再付,如果败诉,则学费不必再交。   

  但是爱瓦梯尔毕业以后,没有担任辩护工作,不打算交另一半学费。

  普洛太哥拉斯准备告他,说:“如果我胜诉了,法官会判你付我学费;如果我
败诉,根据约定你还是要付我学费。总之要付。”。爱瓦梯尔则说:“如果我胜
诉,法官也会判我不付学费;如果我败诉,按照约定我也不必付另一半的学费。总
之不付。”(见王九逵《逻辑与数学思维》)

  这个问题反过来看,逻辑上也同样成立。如果爱瓦梯尔先说:“如果你告我,
我就可以不付学费了。”普洛太哥拉斯也可以用同样的方式来反驳。如此争论下去
不可能有结果。

 
这里的问题就是他们双方都默认“约定”和“判决”可以同时而且等效地来解
决他们的纠纷,这是他们共同的前提。从逻辑上化解它们的办法就是选择其中的一
个进行最终裁决。

5-12梵学者的“预言”

  和上面的例子完全类似,这是一个梵学者(印度的预言家)的女儿用悖论来为
难她的父亲的故事。

  女儿在纸上写了一行字压在水晶球的下面。然后对父亲说:纸上写的可能发生,
也可能不发生。如果你预言会发生就写“是”,反之就写“不”。

  梵学者写下他的预言“是”,女儿拿出水晶球下面的纸,念到:“你将写一个
‘不’字。”学者错了。实际上,他写个“不”字,也会错,因为预言已经发生了。

  女儿的“不”有两重含义,它一方面与字面上的“是”相反,另一方面与实际
上的“不”相反,双重标准。由于没有事先界定,梵学者也可以反过来和他的女儿
作无限的争论。

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