[悖论]经典悖论漫游(2)

(六)由权变遭遇的悖论

6-1阿雷斯(Allais)悖论

  下面两个式代表你将获得的收入,X是一个不定的量,你将选择哪一个,S1
还是S2?

(1)S1=0·9X+$100,000
(2)S2=0·89X+$250,000

  显然,最好的选择取决于X是多少。

当X=$15,000,000,S1=S2=$13,600,000
当X〉$15,000,000,S1〉S2
当X〈$15,000,000,S1〈S2

这个悖论对决策理论有较大影响。

6-2纽卡(Newcombs)悖论

  这也是决策理论中的一个。有两个盒子A和B放在桌子上:

A是透明的,可以看见里面有$1,000,
B是不透明的,上面写着或者是$1,000,000,或者是0。

  你可以在下面的两种选择中,只能取一个(1)或(2):

(1)只选择B
(2)A和B两个都选

  你会作出什么选择?

  有一个教授曾经作过一个实验:他让1000个学生选,其中999个学生选
择了(1),只有1个学生选择了(2)。而这999个学生一人只获得$1,0
00,而那1个学生却获得了$1,000,000。为什么呢?因为这个教授事
先已经作了预测,并作出这样的安排:

如果选(2)B盒子里就不放任何一分钱,
如果选择(1)B盒子里就放$1,000,000。

  而这个教授的预测只有千分之一的失误。如果你已经知道了这个结果,重新再
选,会选哪一项。注意,这一回,教授可能又作出了新的预测。

6-3谷“堆”的定义

  如果1粒谷子落地不能形成谷堆,2粒谷子落地不能形成谷堆,3粒谷子落地
也不能形成谷堆,依此类推,无论多少粒谷子落地都不能形成谷堆。

  从真实的前提出发,用可以接受的推理,但结论则是明显错误的。它说明定义
“堆”缺少明确的边界。它不同于三段论式的多前提推理,在一个前提的连续积累
中形成悖论。从没有堆到有堆中间没有一个明确的界限,解决它的办法就是引进一
个模糊的“类”。

  这是连锁(Sorites)悖论中的一个例子,归功于古希腊人Eubuli
des,后来的怀疑论者不承认它是知识。“soros”在希腊语里就是“堆”
的意思。最初是一个游戏:你可以把1粒谷子说成是堆吗?不能;你可以把2粒谷
子说成是堆吗?不能;你可以把3粒谷子说成是堆吗?不能。但是你迟早会承认一
个谷堆的存在,你从哪里区分他们?

  它的逻辑结构:

1粒谷子不是堆,
如果1粒谷子不是堆,那么,2粒谷子也不是堆;
如果2粒谷子不是堆,那么,3粒谷子也不是堆;
---
如果99999粒谷子不是堆,那么,100000粒谷子也不是堆;
------------------------------------
因此,100000粒谷子不是堆。

  按照这个结构,无堆与有堆、贫与富、小与大、少与多都曾是古希腊人争论的
话题(见《不列颠百科全书》)。

6-4秃头的定义

  这也是连锁悖论中的一例,和上面的游戏完全一样。最早叫Falakros
谜:

  你可以把只有1根头发的叫秃头吗?能;你可以把只有2根头发的叫秃头吗?
能;你可以把只有3根头发的叫秃头吗?也能。但是你不会把有一万根头发的人
叫秃头。你从哪里区分他们?

6-4“一整袋谷子落地没有响声”

  在古希腊,还流传着这样一个故事:如果1粒谷子落地没有响声,2粒谷子、
3粒谷子落地也没有响声,类推下去,1整袋谷子落地也不会有响声。

  响声是由振动引起的,1粒谷子落地可能引起的振动太小,人耳听不到,但是
用仪器却可以测得出来。而一袋谷子落地引起的振动大,人耳自然就可以听得到了。

  应该注意,古希腊辩论家的用意不在于此,他们并不是真的要探讨事实,而是
试图找到逻辑演绎与事实的差别。如果承认谷子落地从没有响声到有响声是一个系
列,那么其间也会有一个变化的模糊区域。

6-5预料之外的绞刑时间

  这个悖论在英语里叫“Paradox of the Unexpected
Hanging”;最早从口头传开是在本世纪四十年代。

  一个囚犯在星期六被判刑。法官宣布:“绞刑时间将在下一周七天中的某一天
中午进行,但是具体哪一天行刑将在这一天的上午再通知你。”囚犯分析道:“我
将不可能在下个星期六赴刑,这是最后一天。因为星期五下午我还活着,那么我知
道星期六中午我一定被处死。但是,但是这和法官的判决有矛盾。”根据同样的推
理,他认为下一个星期五、星期四、星期三、星期二、星期一、星期日。因此,法
官的判决将无法执行。

  这种连锁悖论式的推理并不难理解,法官的判决可以在下个星期六以外的任何
一天被执行,囚犯的预期落空。还有一个“预料之外的考试时间悖论”和这个悖论
的结构完全一致。

6-6“卵有毛”

  惠施曾经与一个辩者辩论过这个题目。辩者说鸡蛋里面有毛,惠施却反对。

  辩者说:“如果鸡蛋里没毛,那么孵出来的小鸡怎么身上有毛?”惠施说:“
鸡蛋里只有蛋清和蛋黄,没有毛。你什么时候看见过鸡蛋里面有毛了?小鸡身上的
毛是小鸡身上的毛,不是鸡蛋里的毛。”但是辩者不能接受。

  辩论双方都以“眼见为实”做标准,从而忽视了从没有毛到有毛的转化过程。
不知道生物学对此会作出什么解释,从方法上来讲,他们没有界定毛从无到有的界
限,似乎都不接受“小鸡身上的毛也可能是鸡蛋里的毛”的模糊区域。

6-7宝塔从有到无

  这是哲学中从量变到质变的一个例子。一个宝塔,如果从下面抽走它的砖,一
块一块地抽,这是量变。当到达一定的度时,宝塔倒塌了,发生了质变,说明宝塔
没有了。我们可以看到一准确的“度”。

  但是现在从上面拿走它的砖,一块一块地抽,这也是量变。直到拿完,宝塔不
存在了,发生了质变,但我们就不容易找到从量变到质变中间的一个准确的“度”
了。

6-8孪生子佯谬

  这是一个与相对论有关的悖论(Twin Paradox)。

  爱因斯坦的成就之一,就是引进了一个定律,用C表示恒定的真空光速,把它
纳入自然常数之列,作为不可达到的最高临界速度。根据光速恒定,引出了相对论
的两个著名的“佯谬”,它们曾经被人嘲讽为相对论的“荒诞无稽”的结论。

  “孪生兄弟佯谬”是指以快速运动为参考系的钟,比静止参考系中的钟走得
慢。根据这一结论,我们可以得出这样的一个结果
:一个乘飞船按接近光速的速度
在太空旅行的人,当他返回地球的时候,就会比生活在地球上的孪生兄弟年轻。因
为他的生物钟,比留在地球上的人要慢。尽管目前的宇宙飞船还远远达不到接近光
速的速度。

  在1905年,爱因斯坦的狭义相对论确立以前,牛顿定律是速度远远小于光
速条件下的定律,机械自然观统驭着人们的空间想象,因此无法解释这一现象。爱
因斯坦关于时间相对论化的概念是崭新的,它取缔了牛顿“绝对时间”的概念,使
“绝对运动”概念也失去了立足之地。

6-9“会变的尺”

  这是相对论引出的另一个“佯谬”:一把快速运动着的尺子,它和静止状态相
比,在运动方向上长度缩短。这个问题是从迈刻尔逊实验结果提出来的,后来形成
了洛仑兹的机械收缩假说。爱因斯坦认为,这种收缩可以用两个参考系之间存在着
的相对速度来解释(见聂运伟编著的《相对论的摇篮:爱因斯坦传》)。

6-10夜空为什么是暗的?

  这是有名的奥伯斯(Olbers,Heinrich Willhelm)
悖论:如果空间无限延展,而且星体均匀分布,我们的任何视线都应该碰到起码一
颗星球。那么,天空不是应该一直都是明亮的吗?这个结论显然与事实不符。

  这个问题早在1610年开普勒就注意到,直到1823年德国天文学家奥伯
斯重新提出以后才广泛引起关注。过去有很多的猜测,如宇宙只有有限的星体、星
体的分布不是均匀的、星体越远可视光越少,遥远的光还没有到达地球等等。“大
爆炸”理论出现以后,宇宙的年龄不是无限的,被人为是一个最重要的原因。从“
大爆炸”开始算起,宇宙距今有一百到两百亿年的历史。年轻的宇宙还没有时间将
光充满夜空(《星期日电讯》1997年10月5日)。

(七)由超越理性触及的悖论
  围绕宗教,如佛教、基督教和道教,都有一些非理性或超越理性的思考,而
这类思考也往往涉及到悖论问题。
  7-1“知者不言,言者不知”
  语言是表达意义的工具。中国古人却很早就认识到了语言的缺憾。老子说:
“道常无名。”孔子也认为:“书不尽言,言不尽意。”古书里也有“意不称物,
文不逮意”。但是老子的说法里存在着一个悖论。
  老子的:“知者不言,言者不知。”是一条悖论,被白居易一语道穿。白居
易在《读老子》里说道:“言者不知知者默,此语吾闻于老君。若道老君是知者,
缘何自着五千文?”
  7-2禅宗公案的悖论形式
  所谓“公案”就是禅师开悟的故事或非逻辑的言行,“禅”是佛教静思修行
的方法。例如在禅宗里有一个“看话禅”,禅师以公案中的某些非逻辑、通常不
可解的话语,让弟子参究,以杜塞其思量分别,迫使他们的智慧迸发,得以见到
自己的“心性”。当禅师启发弟子开悟而提出悖解的问题时,弟子就要在考验中
过迷悟的“禅关”。而禅诗、禅语就是他们把禅悟的理解、感受用文字的形式表
现出来。
  成中英在《禅的诡论和逻辑》(《中华佛学学报》第三期,1990年4月)
一文里认为,公案是诡论,也就是悖论。比照罗素悖论的一般形式:
  如果P是真,那么P是假。
  禅诡论扩展的一般形式就是:
  如果P是Q,那么P不是Q。
  尽管禅宗公案变化无常,依境而发,但其诡论根源都离不开这一反矛盾律的
形式。铃木大拙在《禅:答胡适博士》(Zen:A Reply to Dr.
Hu Sih)一文中也说:“我们一般推论:A是A,因为A是A;A是A,
所以A是A。禅同意或接受这种推论方式,但是,禅有它自己的方式,这种方式
并不是一般可以接受的方式。禅会说:A是A,因为A不是A;或A是A,所以
A是A。”语言是思维的载体,思维借助文字符号表达出来,因此语言的运用就
反映了思维的逻辑。而禅宗公案往往并不遵循形式逻辑的基本规律:
  同一律:A是A,B是B,等等;矛盾律,A不是非A,B不是非B,反之
亦然;排中律,在A或B之间必居其一,没有中立;充足理由律:A真,因为B
真,并且B能推出A。
  7-3“见山不是山,见水不是水。”
  这是唐代禅师青原惟信谈到其对禅体验的三个境界时说的:三十年前没有参
禅时,见山是山,见水是水。后来有个入处,见山不是山,见水不是水。而今得
个歇处,依前见山只是山,见水只是水。
  其中“见山不是山,见水不是水”是一种单一形式的悖论。在禅宗里这类例
子不胜枚举。如:
  “我是他,但他不是我。”(反矛盾律)“得即是失。”(反矛盾律)“既
不是肯定也不是否定,二者都不对,你应该怎么说?”(反排中律)“勿言生,
勿言无生。”(反排中律)
  它们背后的禅理是语言和逻辑所无法达到的,这就是“空”,一种修行的悟
解。如果围绕公案(悖论)、悟、空等基本概念,就可以对禅有一个基本的了解。
  7-4禅诗悖论二则
  这是二首很有名的禅诗。一首是:
  菩提本无树,明镜亦非台;本来无一物,何处惹尘埃。
  据说六祖慧能在读到《金刚经》中“应无所住,而生其心”一句时,豁然感
悟,写下这首禅诗。其中表达了一个“空”的思想。慧能还提出过一些反排中律
的命题,如“无方圆大小”、“无有头尾”,认为诸如“方圆”、“大小”、“
头尾”的矛盾也是“空”的。另一首是:
  空手把锄头,步行骑水牛;人在桥上走,桥流水不流。
  这是南北朝时期的一位禅师善慧大士(傅翕)写的一首禅诗,来表达他所体
悟的与观察相悖的禅理。杨惠南在《论禅宗公案中的矛盾与不可说》一文里称这
是一个“矛盾公案”。其中充满了与事实相矛盾的语词。
  在语言世界里,公案不可回避地会遇到逻辑悖论。禅诡论对于那些还没有证
得禅悟的人来讲是悖论,但是对于已经“开悟”的人来讲,悖论也就不再是悖论,
因为他们超越了理性,禅师运用起悖论来反而显得自在坦然。
  7-5“瓶中取鹅”
  某人在瓶子里养了一只鹅,从小就养,当鹅长大以后,而瓶口显然小得不足
以把鹅完好地取出来。如果既不希望将瓶子打破,也不想把鹅杀死,有什么办法
可以让鹅出来?
  这一悖论需要在对话中来完成。禅师的答案可以是趁那个人不注意时,叫他
的名字,那人答应一声:“干什么?”禅师说:“鹅已经出来了。”这种回答在
逻辑上是反充足理由律的,但是对禅师来讲则是超越了原来语意框架。在真如本
体里,不相干的事物也相干起来。
  7-6答非所问
  这里,问与答都没有悖论,但是合起来就是悖论。选择杨惠南文中的三个例
子:
  问:何为祖师西来意?答:庭前柏树子。问:什么是曹溪一滴水?答:那是
赵河一滴水。问:佛陀沈默时是什么意思?答:树中的鸽声。
  由于禅认为任何理性的思考都无法帮助人们获得佛意义上的终极真理,因此
不管是问与答,还是问答的总合,逻辑不连贯、语言反常规并不影响禅的宗旨。
  7-7“拈花微笑”
  据说释迦牟尼在一次法会上,手里拿着一支荷花,没有人可以解,只有摩诃
迦叶能契悟佛意,露出微笑,因此得到佛陀的付法。这是一个禅宗传承的故事,
开启了禅宗以心传心的法门。杨惠南认为这是一个“不可说”的公案。在释迦拈
花、迦叶微笑的默默无语当中,把佛的真意传了出来,即“一笑拈花转悟禅”。
“教外别传,不立文字,直指人心,见性成佛。”也许最能代表禅宗的立场。
  公案无意关心某一具体陈述或问题,语言强化矛盾在于回答什么是“悟”,
而“悟”本身并不需要任何形式的语言。佛教的终极存在,是一个用语言无法刻
画的“真如本体”。因此,“但有言说全无实义”。公案不过是禅宗践行者在致
力于“悟”的过程中产生出来的,它的内容是悖论,“悟”出的结果“空”也难
以用通常的语言和逻辑来描述。
  7-8二律背反
  所谓“二律背反”就是对同样的问题提出两个相反的判断,尽管这两个判断
作为结论正好相反,但逻辑上却又都是成立的。1781年,德国哲学家康德(
Immanuel Kant,公元1724-1804)发表了《纯粹理性批
判》,他在考察了宇宙时间是否有开端、空间是否有极限等问题以后,称它们为
纯粹理性的“二律背反”。
  在康德的那个时代,他发现两种同样令人信服的论据证明宇宙是有开端的正
命题和没有开端的反命题。他对正命题的论证是:如果宇宙没有一个开端,则任
何事件之前必有无限的时间。他认为这是荒谬的。他对反命题的论证是:如果宇
宙有一开端,在它之前
必有无限的时间,为何宇宙必须在某一特定的时刻开始呢?
无法解答。
  毫无疑问,在1929年哈勃观测到宇宙正在膨胀,进而把宇宙起点的问题
带进科学王国以前,有关争论实际上是一个形而上学或神学的问题。“大爆炸”
理论揭示时间也是在大爆炸时才开始,而那以前的“时间”是没有意义的,因为
所有科学定律因失效而无法作出推测,修正了人们的看法。所以霍金讲:大爆炸
模型并没有排斥造物主,但对他何时从事这一工作加上了时间限制(霍金《时间
简史:从大爆炸到黑洞》第一章)。
  7-9“万能溶液”悖论
  一位年轻人曾经雄心勃勃地告诉一位化学家要发明一种“万能溶液”,它能
够溶解世界上所有的物质,而化学家反问道:“那你用什么容器来装载这种溶液
呢?”
  也许这个年轻人应该首先发明一种无论如何也不会被溶解的容器,但“万能
溶液”又必须把它溶解,否则就不是“万能”。年轻人陷入二难推理,而化学家
的倾向性观点就是发明这种溶液是不可能的。
  7-10“第二十二条军规”
  这是一条臭名昭著的军规。它规定神经失常的飞行员可以停飞,但同时又规
定申请停飞者必须头脑清醒。试想,一个神经失常的人不能申请,必须飞行;而
头脑清醒者又怎么能证明他是神经失常?这纯粹是一条欺骗性的悖论。
  7-11全能者悖论
  语言绝对化往往伴随着悖论。基督徒相信上帝是全能的,如果有人问:“如
果上帝是全能的,他能不能创造一块他举不起来的石头?”
  从逻辑上解释:如果上帝不能造出这样一块石头,他不是全能;如果上帝可
以造出这样一块石头,但他举不起来,他也不是全能的。因此,有一个简单的结
论:上帝不是全能的。如果上帝也不是全能的,那就没有全能者。
  但这个问题等于问:“什么都能做的上帝能否作一件他不能做的事情?”这
是问题中的问题,既然说他是全能的,就没有后面的问题;有后面的问题就说明
他不是全能的。
  “全能者悖论”是一个用结论来责难前提的例子,尽管推理过程无懈可击,
但是结论却不为基督徒所接受。其中更重要的原因是存在着一个满足超越理性的
需求。根据《圣经》,上帝是一个“灵”,人们看不见摸不着,不在理性的范畴。
按照康德的二元论,主观与客观平行而无法统一,人不可能按照自己的逻辑来理
解这个“自在之物”。因此,只有信仰才能跨越这条鸿沟。那么,理性的“证明”
或“反证”都可能为先设的结论服务,最终由超越理性的信或不信来决定。这是
一种解释。
  7-12有一个还是多个终极真理?
  既然有人从逻辑上进行上帝不存在的“反证”,同样也有人要在逻辑上从事
上帝是存在的“证明”。宗教往往认为自己可以找到被科学、理性认为是极限、
无限、无穷以外的终极真理。例如著名的第一因“论证”:如果对原因的原因无
限地推演下去,必然可以找到一个初始因,而这个因就是上帝。
  问题是一个地球,百种宗教。佛教追求的终极真理是“真如”、道教是“道”、
伊斯兰教是“真主”、古代中国人是“天”、印度人是“梵天”、希腊人是“本
体”。从理论上来讲,终极真理只有一个,但我们现有的答案却不只一个。对终
极的探讨也许是人的本性,科学家也不例外,爱因斯坦赞叹自然界精美的规律,
称它为“神”。显然,此“神”非彼神。
  7-13手表类比
  这是一个从有限的观察归纳出无限以外结论的例子。手表类比的大意是:在
野外拾到一块手表,一定知道它是手表匠造的,那么比手表更精美的自然界,一
定是神造的。这是英国哲学家佩利(Willian Paley,1743-
1805)提出来的。
  如何确定超出感觉经验的理论是正确的?哲学家休谟认为:一切理论都建立
在因果关系之上,凭这种关系,人们才能从经验到的事实推出另一件并未经验到
的事实。他提到这个手表类比,说:在这里,我们总是假定:在现在的事实和推
论之间,必定有一种联系,如果没有任何东西来结合它们,则那种推论就会成了
完全任意的。
  手表与手表匠之间存在着因果,这是不言而喻的。但是自然界与上帝之间是
否也存在着因果?则是一件我们没有经验的事实。如果承认一果多因,那么手表
类比就存在着一个未经证实的问题,我们至少知道自然界的存在有两种原因可以
解释,一种来自于唯心主义的解释,另一种则来自于唯物主义的解释。
  7-14善恶悖论
  这是中国文化里的一个古老难题。告子认为人性“不分善恶”,他证明道:
“人性之无分于善不善也,犹水之无分于东西。”孟子则反驳道:“人性之善也,
犹水之就下也,人无有不善,水无有不下。”证明“人性本善”。由于窥透不了
人性,所以在解释上必然带有任意性。以水作比喻并不恰当,也不具有说服力,
所以荀子轻而易举地提出了“人性本恶”的思想。假设不同,主张自然各异。所
以孟子尚德叫人知善、荀子劝学劝人学善、韩非子倡法以惩恶。
  黑格尔说得好:“人们以为当他们说人性本善是说出了一种伟大的思想,但
他们忘记了,当他们说人性本恶时,他们是说出了一种伟大得多的思想。”
  《圣经》里讲,自亚当、夏娃以降,人都有与生俱来的“原罪”,它是恶的
根源。那么道德从那里来?康德认为:实际的道德从道德理念而来,归根到底是
从神那里来。“罪”的概念为基督徒所接受,但是却不为非基督徒所认可。
  7-14“鸡-蛋难题”的另类解答
  如果把思维分为二类:一是理性思维,包括形式逻辑思维和辩证逻辑思维;
二是非理性思维,即直觉非逻辑思维。康德认为有一个不可知的“自在之物”,
理性只是反映了现象,而不能把握自在之物本身。理性本身存在着矛盾,康德认
为理性有一定的局限性,有些问题理性不能解决。这无疑给超越理性的思考开了
一扇大门。
  从进化的角度看,“鸡-蛋难题”在现实中并不成为悖论,只是我们还没有
找到它的答案。人们不过用它来说明思维中的一个逻辑反论。当摆脱不了这个思
维中的一个纠缠时,有的可能走进去出不来,有的可能寻找另类答案。
  “鸡生蛋,蛋生鸡”在理性思维里是一对无限因果的矛盾。但是在非理性思
维里,“鸡-蛋难题”也许根本就不是什么难题。佛教的可能答案是:“鸡就是
蛋,蛋就是鸡。”因为它们都是“空”的;基督教的可能答案是:“神既创造了
鸡也创造了蛋。”因为神是最初因,而且“自有永有”。对比这两种诉诸宗教的
解答方法,就会发现它们是明显矛盾的,不同的宗教可能有不同的答案,因为他
们所持的信仰不同,而都认为自己找到了终极的方法和答案。
  有这样一种说法:科学解决不了的问题可以诉诸哲学,形式逻辑解决不了的
问题
可以采用高一级的逻辑方法,如辩证法;而哲学解决不了的难题可以诉诸
宗教,那里有最终的答案。这只是表面现象。科学探索是一个没有止境的探索过
程,不会认为自己可以一劳永逸地提出一个终极答案。如果科学一旦把“鸡-蛋
难题”也纳入了自己的范畴,无疑会出现类似于“大爆炸”理论带来的效应,各
家纷纷作出有利于自己的调整。从这个意义上来讲,科学的发言权往往是决定性
的。
  前面我们看到了七种类型的悖论。有的悖论可能被证明为我们难以从中解脱
出来,例如克里特岛人的“谎言者悖论”,其中的“自指”就是哥德尔不完全定
理的中心一环。但是,随着数学、科学研究的深入,很多过去认为是不可能解决
的悖论,也可以找出解脱的办法来。例如,芝诺的四个运动悖论,在现代数学里
就基本上得到了和我们观察相对应的解释。
  悖论是“自相矛盾的陈述”、是“特殊的逻辑命题”,其特殊性的共同点在
于自相矛盾。根据这个宽泛的定义,“真悖论”的命题就是无法从逻辑的自相矛
盾中解脱出来,如概念自指的悖论、前提不自洽的悖论;“假悖论”则是可以被
解套的悖论,如科学中的“佯谬”。有的悖论是历史形成的,即使被科学解套,
依然可以称为悖论。
  因此,悖论本质上可以分为二种:一种是纯粹的逻辑矛盾,如自我相关的无
限循环;另一种就是逻辑自洽但与实际的观察不合,如“阿基里斯悖论”、“白
马非马”等。
  科学体系必须逻辑自洽,而且可以较好地解释自然现象,而悖论的提出和解
决往往有助于推动科学的发展。
           
(八)由科学发展揭示的悖论
8-1 一元钱到哪里去了?
  三个学生住旅馆,服务员收费30元。因此一个学生拿出了10元。但是后
来经理说今天特价,一共只收25元。服务生退还了学生3元并拿了2元的小费。
结果每个学生只出了9元,一共27元,加上服务员的2元,才29元(3×9
+2=29),那剩下的1元到哪里去了?
  也有人把故事改编成这种形式:约翰推销他的旧电视30元给三位妇女,结
果每个妇女拿出10元来。约翰发现他的电视只值25元,于是他拿出2元钱作
运输费,将其他3元钱退还给那三位妇女一人1元。结果仍然是3×9+2=
29,有1元钱不知去向。
  这问题很容易蒙住粗心的人,但仔细一点就可看出名堂来。每个学生实际出
了9元,一共27元,其中25元是住宿费,剩下2元被服务员拿走,应该做减
法3×9-2=25。如果要做加法,则应该加上退还的3元,3×9+3=
30,不正是起初服务员收的30元吗?因此根本不存在“一元钱到哪里去了”
的问题。
  这是一个悖论吗?有人说不是,不过是在陈述上故意作了误导。但美国的
《科学美国人》编辑部曾经出版了一本书叫《从惊讶到思考:数学悖论奇景》,
就收集了这个悖论。
8-2 希帕索斯之过?
  早在2500年前,古希腊的毕达哥拉斯(公元前572-前497)学派
虽然认识到了事物背后有数的法则,但是由于他们对数的崇拜和迷信,认为万物
中的数只有整数和整数之比,只有整数才可以描述宇宙间的各种关系。但是,当
一个叫希帕索斯的学生发现:边长为1的正方形,其对角线不可能用整数来表达,
这就触犯了这个学派的信条。而天真的希帕索斯向外人透露了他的发现,结果被
扔到了海里而丧身。但是他的发现却引起了数学思想的大革命,史称“第一次数
学危机”。
  可见,有些“悖论”并不是真正的悖论,而是佯谬,只是人们一时还没有找
到解释的方法或不愿意正视现实罢了。《华盛顿邮报》上曾经有一篇文章介绍到:
德国物理学家伦琴(1845-1923)发现了一个似乎矛盾的现象,一些照
像纸放在实验室的防光袋子里,但是上面竟发生了萤光反应。虽然与知道的常识
不合,他却发现了一个看不见的、未知的原因:X光(X表示未知的意思)。尽
管这不是一个经典的悖论,没有导致两个相互矛盾的结果,但是说明了一种在科
学上对付悖论的办法。同样,很多科学悖论也往往指出了一个未知的X因素,需
要人们去发现。由此,人们也可以从逻辑“死结”里解脱出来,拓展一种全新的
概念。
  罗素悖论曾经震撼了整个数学界,而同时期出现的数学悖论还有布拉里·福
蒂悖论、康托尔最大基数悖论、理查德(J.Richard)悖论、培里(P
erry)悖论和格瑞林(Kurt Grelling)悖论。直到哥德尔不
完全定理,这些悖论的出现和解决方法的提出也极大地推动了数理逻辑的发展。
8-3 落体佯谬
  二千多年前,亚里斯多德认为“物体自由下落的速度和物体的重量成正比”。
因此,“物体越重,下落的速度就越快;越轻,物体下落的速度越慢。”这一观
察似乎接近日常生活的事实:除非在真空里,羽毛较石头落下的速度缓慢。因此,
亚里士多德的理论看起来正好与人们的经验相符,所以两千年没有人怀疑过。但
是,如果把它们绑在一起,下落得更快还是更慢?一方面,重量更大,应该落得
更快;另一方面,快的物体也可能被慢的物体拖住,没有单独下落快。这两个推
论是相互矛盾的。
  十六世纪,伽利略的推理对亚氏学说提出了挑战。他的比萨斜塔实验证明:
一对同样大小的木球和铅球同时落地,使这个佯悖解套。自由下落的物体,下落
的速度与它的质量没有关系。它也是惯性定律、自由落体运动定律和广义相对论
的一个实验基础。
8-4孪生子佯谬 (Twin Paradox)
  爱因斯坦的成就之一,就是引进了一个定律E=m×c的平方。其中,c表
示恒定的真空光速,被纳入自然常数之列,作为不可达到的最高临界速度。而光
速恒定则引出了相对论的两个著名“佯谬”,它们曾经被人嘲讽为相对论的“荒
诞无稽”的结论。
  根据相对论,在高速状态下,时间就会相对应地减慢,当速度达到光速的
99.6%时,时间就相对地减慢一半。“孪生兄弟佯谬”是指以快速运动为参
考系的钟,比静止参考系中的钟走得慢。根据这一结论,可以推测:一个乘飞船
按接近光速的速度在太空旅行的人,当他返回地球的时候,就会比生活在地球上
的孪生兄弟年轻。
  假若有一对孪生兄弟,A35岁,B35岁。如果A乘驾太空船,以光速的
99.6%熬游太空30年,当他返回地球时可能出现:
  A:35岁+30年=65岁
  B:35岁+60年=95岁
  在1905年,爱因斯坦的狭义相对论确立以前,牛顿的机械自然观统驭着
人们的空间想象,因此无法解释这一现象。而“时间相对论化”的确立,取缔了
牛顿“绝对时间”的概念,使“绝对运动”概念也失去了立足之地。
  对于时间的不同变
节奏,在古代中国的传说中也有。多少与道教有点关系,
例如,儿童五言诗:“王子去求仙,丹成十九天。洞中方七日,世上已千年!”
《醒世恒言》卷三十八里:李道人独步云门:“一路想道:山中方七日,世上已
千年。果然有这等异事!”这多半是古人的幻想。
8-5 “会变的尺”
  这是相对论引出的另一个“佯谬”:一把快速运动着的尺子,它和静止状态
相比,在运动方向上长度缩短。这个问题是从迈刻尔逊实验结果提出来的,后来
形成了洛仑兹的机械收缩假说。爱因斯坦认为,这种收缩可以用两个参考系之间
存在着的相对速度来解释(见聂运伟编着的《相对论的摇篮:爱因斯坦传》)。
8-6 理想测量的悖论
  在宏观世界里,一块石头自由落体准确可测,它按牛顿万有引力或重力定律
发生作用。但是在量子物理学里,落下的不是石头,而是质量很小的电子,在微
观世界里就会出现“测不准”的现象。在量子力学里,许多基本粒子一直处于某
种不确定的可变化状态,打个比方,当你看到一块“石头”时,它是一块“石
头”,这只是概率的一种;当你下次看到它时,它可能又是别的什么。德国物理
学家海森伯(Werner Heisenberg,1901-1976),
1932年因提出测不准原理而获得诺贝尔物理学奖。
  如果说相对论给了机械论物理学一个沉重的打击,那么量子力学的提出则标
志着非机械论物理学的诞生。但是,爱因斯坦认为:量子力学是不完备的,一定
有一个更好理论使物理学家对实验结果作出确定的预期。他说:“在宇宙中,上
帝是不掷骰子的。”量子力学认为在测量之前没有什么是实在的,也无法预期。
爱因斯坦质疑:“难道月亮只有在你看它的时候才存在?!”这涉及到一个量子
力学的适用范围问题。
8-7 薛定谔的猫(Schrodinger’s Cat)悖论
  在日常观察中,一只猫非死即活,必居其一。而薛定谔的“猫”放在箱子却
处于非死非活的叠加状态。这是薛定谔提出来的一个具有挑战性的难题。因为,
按照量子力学的规则,箱子内的整个系统都处于两种态的叠加状态,这就是叠加
原理(Superposition Principle)。
  “薛定谔猫”的实质是:宏观上是否存在量子般的叠加状态?“猫”从生与
死的叠加状态过度到或生或死状态的区分点在哪里?这些难题有待物理学家的进
一步探讨。
8-8 EPR佯谬
  量子力学的另一个难题是“EPR佯谬”。它是1935年,由爱因斯坦
(Einstein)、波多尔斯基(Podolsky)和罗森(Rosen)
在一篇《能认为量子力学对物理世界的描述是完备的吗?》的论文中提出来的。
假设沿不同方向发射两个粒子,那么无论它们相隔多远,一旦测出其中一个,另
外一个粒子的状态也就立刻确定下来了。但是按照相对论,这是不可能的,这个
佯谬预示:量子关联现象表面上与相对论的因果关系是相矛盾的。
  尽管量子力学已经广泛为人们所接受,但爱因斯坦关于其完备性的质疑对量
子力学后来的发展产生了巨大影响,深化了量子力学对基本问题的探讨。
8-9 蝴蝶效应
  如果说北京有一只蝴蝶振翅一挥,就会引起纽约的一场风暴;或者形成飓风,
影响全世界。你会相信吗?前后可以说是把风马牛不相及的事情扯在了一起,但
在理论上它是可能的。
  美国气象学家洛伦兹(Lorenz)正是受了一只振翅“蝴蝶”的启发,
其图形是用方程组在计算机里模拟气流的运动得出来的,开创了一门新的学科:
混沌学(Chaos)。有人称它为:“本世纪继相对论和量子力学后的第三大
科学发现。”1979年12月,洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会上一语惊人:
“一只蝴蝶在巴西扇动翅膀,有可能在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。”“蝴
蝶效应”说不胫而走。
  它的科学与哲学魅力在于:长期行为对初始条件有敏感的依赖性。初始条件
带来微小变化的不断放大,对未来将造成巨大影响。正如中国古书所载“失之毫
厘,谬以千里”。蝴蝶效应会受到许多其它因素的干扰,“蝴蝶振翅”与“风暴
来临”绝不是简单的直接因果,而可能是复杂的连续因果。
8-10 夜空为什么是暗的?
  这是有名的奥伯斯(Olbers,Heinrich Willhelm)
悖论:如果空间无限延展,而且星体均匀分布,我们的任何视线都应该碰到起码
一颗星球。那么,天空不是应该一直都是明亮的吗?这个结论显然于事实不符。
  这个问题早在1610年开普勒就注意到,直到1823年德国天文学家奥
伯斯重新提出以后才广泛引起关注。过去有很多的猜测,如宇宙只有有限的星体、
星体的分布不是均匀的、星体越远可视光越少,遥远的光还没有到达地球等等。
“大爆炸”理论出现以后,宇宙的年龄不是无限的,被认为是一个最重要的原因。
从“大爆炸”开始算起,宇宙距今有一百到两百亿年的历史。年轻的宇宙还没有
时间将光充满夜空(《星期日电讯》1997年10月5日)。
8-11 克隆羊年龄悖论
  克隆羊多莉诞生以后,人们提出这样一个有趣的科学和哲学问题:它的“生
物年龄”和“出生年龄”可能不符。多莉的DNA取自一个六岁的老羊,多莉的
出生年龄已有三岁,按DNA推测,它的生物年龄应该是九岁。换句话讲,它既
克隆了基因,也克隆了年龄。人们怀疑“多莉是穿着羔羊服装的老羊”而衰老比
正常羊的速度快。人们不禁要问,从一个五十岁的人那里克隆出来的克隆人可以
生活多久?这个问题有待克隆技术的进一步发展和观察实验才能有进一步的答案。
8-12 中医现代化悖论
  二十世纪初以前,很少有人怀疑中医的合理性。中医要现代化,就要与现代
科学接轨,但是如果用科学实证的方法来加以鉴别,就会发现中医体系里既有科
学的成份,又有非科学性的成份,两者之间交织在一起,因果关系复杂,深入研
究下去就会发现这是一个二律背反(张其成《中医学的构建与发展──中医现代
化悖论》)。
  而破解中医现代化悖论的途径就是既要继承其科学的一面,又要抛弃其非科
学的一面;既要发扬自身的长处,又要学习西医的优点。在西方科学的冲击下,
“百年困惑”的中医大体走过了从20年代末的“废止旧医”,50年代的“团
结中西医”,到今天中医现代化的曲折过程。中医现代化之时也就是悖论解套之
时,同样,这有赖于中医的进一步研究与发展。
8-13 金带与怪圈
  《科学美国人》的撰稿人霍夫斯塔特在其《GEB:一条永恒的金带》一书
中,找到了一条贯穿哥德尔理论、埃舍尔的名画和巴赫音乐的“金带”,这就是
思维中的“自指”,他称之为“怪圈”。
 
凡是看过的人都知道,荷兰艺术大师埃舍尔的作品常常源于悖论,尤其是以
艺术形式展现的视觉怪圈。其艺术感染力让人倾倒,其怪圈的魔力让人震撼。
  例如,在他的名画《画画的双手》里,左手在画右手的同时,右手也在画左
手。那么到底是左手画出了右手,还是右手画出了左手?它表达了和柏拉图-苏
格拉底悖论(即:后面这句话是错的,前面这句话是对的)同样的意境,两者总
是自相缠绕在一起。
  在《瀑布》里,沿着埃舍尔的“流水”,水居然可以“从下往上流的”,与
生活中的常识相违背;在《上升和下降》里,走进埃舍尔的殿堂,无论你如何分
辨,都会觉得天衣无缝,但又与现实世界不可调和。
  《相对性》,在埃舍尔的“台阶”上,无论你爬了多少级台阶,绕了一圈都
会回到原来的位置;同样,无论你下了多少级台阶,也会回到原来的地方。就像
是在缪毕乌丝带上运行,在有限中体现了无限的过程。
  在埃舍尔的《画廊》里,你已经站到了画中的某一个位置;在《举着反光球
的手》中也表达了强烈的的自我相关。其《逆行卡农》也和巴赫《音乐的奉献》
中的片断有异曲同工之效。
  本文对悖论的划分分为八种,如果从更广泛的角度来看,还有文化悖论、历
史悖论(例如“汉武悖论”)、谚语中的悖论、音乐中的悖论、理论体系悖论、
社会现象悖论,等等。我们就不在这里作一一探讨。而真正的悖论将具有永久的
魅力。

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