P 不等于 NP……么?

刚刚过去的这个周末,计算机科学界最热门的话题莫过于一位惠普试验室的资深研究员,Vinay Deolalikar,宣称自己证明了 P ≠ NP。

他的证明目前只有初稿,本来只在私下里流传。但是有人把它捅到了 Slashdot 那里,于是媒体闻风而动。一夜之间,似乎人人都开始讨论这则新闻了。

大家这么激动的原因是这个问题实在太过于重要。它既是数学上的顶尖难题(著名的七个百万美元悬赏的千年数学难题之首),也是计算机科学的基础性问 题。并且和许多别的著名数学难题(例如黎曼猜想或者庞加莱猜想)不同,它对于整个信息产业(从而也对于当今世界的方方面面)具有重要的现实意义。

简单的说,在这里 P 指的是「能够很快被解出的问题的集合」(这里「很快」的严格定义是所谓多项式时间内),NP 指的是「能够很快判定一个解是否正确的问题的集合」。P/NP 问题一般表述为 P 是否等于 NP,即「是不是一个问题只要能够很快判定一个解是否正确,它就能很快被解出」。关于这个问题的更详尽的解释,可以参看这篇文章

人们目前并没有充分证据证明 P = NP 或者 P ≠ NP 两者中任何一个结论,但是大多数人相信 P ≠ NP。如果 P = NP,整个计算机科学和信息技术都会迎来极为重大的变革。关于 P = NP 的现实后果,可以参阅这篇笔调略显夸张的文章。2002 年对该领域专家的一次调查显示,相信 P = NP 以及 P ≠ NP 的专家的比例是 9:61。

以上即为这则新闻的背景。毫无疑问,人们离断言该问题已被解决还有极为遥远的距离。众所周知,任何一个著名且重要的难题都会吸引无数人的关注,各种 所谓的证明汗牛充栋,其中 99% 都来自没有受过专业训练的外行,没有任何实际意义。当然这则新闻的主人公并不在此列,他是该领域内一位声名卓著的专家,曾经在这一方向作出过很多重要研 究。但是即便如此,他的证明仍然需要经过严格的审查,很可能它很快就被挑出一个细微然而重要的错误,然后迅速被人遗忘。这样的故事发生过很多次,以至于专 业人士大多对此新闻持以审慎的态度。

佐治亚理工大学的计算机科学家,美国工程院院士 Richard Lipton 在他自己的 blog 里讨论了这篇论文。简而言之,他认为这是个严肃的,值得认真研究的证明,但是对其中一些证明思路颇为疑虑。在接下来的一段时间里,他和很多该领域的专家一样会开始严格审阅这篇论文的细节。

即使小概率事件真的发生了,这篇论文最后被证明是正确的,我们的生活会有立竿见影的变化么?答案是不会。一方面,他证明的是 P ≠ NP 而非 P = NP,这是个相对而言并不太令人惊讶的,冲击力也不算太强的结论(虽然也很困难)。另一方面,一个理论成果的影响传递到现实世界会经历漫长的过程。

但是无论如何,这条新闻总是个令人兴奋的好消息,特别是和这世界上正在发生的大多数新闻相比较而言,更是如此。

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